Ôn lại Logic mệnh đề

I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LOGIC MỆNH ĐỀ

1.1 ĐỊNH NGHĨA MỆNH ĐỀ, GIÁ TRỊ CỦA MỆNH ĐỀ

Mệnh đề là một câu trọn nghĩa (một khẳng định) mà nội dung của nó phản ánh đúng (true) hoặc sai (or false) thực tế khác quan.
Mệnh đề đúng: Nếu nội dung của mệnh đề (A) phản ánh đúng thực tế khác quan, thì nó được gọi là mệnh đề đúng hay mệnh đề nhận giá trị đúng (viết A=Đ hay A=1)
Mệnh đề sai: Nếu nội dung của mệnh đề (A) phản ánh sai thực tế khác quan, thì nó được gọi là mệnh đề sai hay mệnh đề nhận giá trị sai (viết A=S hay A=0)
Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai.
Các biến Đ, S (1,0) được gọi là giá trị chân lý của mệnh đề
Biến mệnh đề: Ký hiệu dùng để chỉ mệnh đề được gọi là biến mệnh đề

1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ

Trên tập các mệnh đề xác định các liên kết logic, được gọ là các phép toán: Phủ định, Hội, Tuyển, Kéo theo và Tương đương, tương ứng với các cụm từ liên kết “không”, “và”, “hoặc”, “nếu …, thì….” “khi và chỉ khi….”
Giả sử A, B là các mệnh đề.
a) Phép phủ định
Mệnh đề mà nó đúng khi A sai và nó sai khi A đúng gọi là mệnh đề phù định ký hiệu  hoặc  hay
Bảng giá trị: Có thể xem trong Toán cao cấp tập 1
b) Phép hội
Mệnh đề mà chỉ đúng khi cả mệnh đề A và B đều đúng gọi là mệnh đề Hội (hay hội) của mệnh đề A và B. Ký hiệu  hoặc A.B hoặc A&B.
Bảng giá trị: Có thể xem trong Toán cao cấp tập 1
c) Phép tuyển
Mệnh đề mà nó chỉ sai khi cả mệnh đề A và B đều sai được gọi là mệnh đề tuyển (hay tuyển) của mệnh đề A và B. Ký hiệu  hoặc A + B.
Bảng giá trị: Toán cao cấp tập 1
d) Phép kéo theo
Mệnh đề mà nó chỉ sai khi mệnh đề A đúng và mệnh đề B sai được gọi là mệnh đề A kéo theo B. Ký hiệu:
Bảng giá trị: Toán cao cấp tập 1
e) Phép tương đương
Mệnh đề mà nó chỉ đúng khi mệnh đề A và mệnh đề B nhận cùng một giá trị được gọi là A tương đương với B. Ký hiệu:  hoặc
Bảng giá trị: Toán cao cấp tập 1

1.3 Công thức Logic mệnh đề

1) Định nghĩa
a) Các biến mệnh đề: x, y, z…, X, Y, Z,… được thừa nhận là các công thức của logic mệnh đề
b) Nếu A, B là công thức của logic mệnh đề thì  là các công thức của Logic mệnh đề
c) Chỉ các biểu thức được xác định ở mục a) hoặc mục b) mới là công thức của logic mệnh đề.
2) Giá trị của công thức
3) Công thức hàng đúng, hằng sai và thỏa được
4) Công thức bằng nhau.
Chú ý: Mục 2 – 4 các bạn có thể tự tìm hiểu trong sách Toán cao cấp tập 1

1.4 Phương pháp lập bảng giá trị

1) Phương pháp khảo sát hằng đúng hằng sai, thỏa được của công thức
B1: Lập bảng giá trị (Tìm đọc Toán cao cấp tập 1)
B2: Kết luận

Nếu cột cuối cùng toàn 1 thì A hằng đúng
Nếu cột cuối cùng toàn 0 thì A hằng sai
Nếu cột cuối cùng có ít nhất một số 1 thì A thỏa được
Nếu cột cuối cùng có cả số 1 và 0 thì A thỏa được nhưng không hằng đúng

2) Phương pháp chứng minh công thức bằng nhau
B1: Lập bảng giá trị (Tìm đọc Toán cao cấp tập 1)
B2: Kết luận

Nếu hai cột cuối cùng hoàn toàn giống nhau thì A = B, trường hợp hai cột cuối khác nhau thì A khác B.

1.5 Các luật Logic mệnh đề

Một số đóng vai trò như các hằng đẳng thức đáng nhớ, được sử dụng thường xuyên trong khi biến đổi công thức và giải các bài toán logic đồng thời được gọi là các quy luật của Logic Mệnh đề.
Sau đây là liệt kê 23 luật Logic mệnh đề quan trọng nhất của logic mệnh đề (Nhiều hơn hẳn so với Toán cao cấp tập 1 phải không nào )

(Thay kéo theo bằng phủ định và tuyển)
(Phân phối của tuyển đối với hội)
(Phân phối của tuyển đối với hội)
(Luật DeMorgan)
(Luật DeMorgan)
(Thay phép tương đương)
(Luật hấp thụ của hội đối với tuyển)
(Luật hấp thụ của tuyển đối với hội)
(Luật hấp thụ)
(Luật hấp thụ)
(Tính giao hoán của Hội)
(Tính giao hoán của Tuyển)
(Tính chất kết hợp của Hội)
(Tính chất kết hợp của Tuyển)
(Tích lũy đẳng của Hội)
(Tích lũy đẳng của Tuyển)
(A và không A luôn luôn sai)
(A và không A luôn luôn đúng)
(A và hằng sai luôn luôn sai)
(A hay hằng sai luôn là A)
(A và hằng đúng luôn là A)
(A hay hằng đúng luôn hằng đúng)
(Hai lần phủ định của mệnh đề A lại chính là A)

1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

Dựa vào các luật cơ bản người ta có thể biến đổi các công thức của logic mệnh đề thành các dạng tương đẳng và “đơn giản” hoặc tiện ích hơn. Nhờ đó việc giải phương trình, hệ phương trình logic, xét tính bằng nhau, tính hằng đúng của các công thức được thực hiện một cách dễ dàng hơn.
Ví dụ: Chứng minh rằng  là hai công thức bằng nhau.
Giải: Đầu tiên sử dụng công thức (1) sau đó dùng (12) và cuối cùng sử dụng (1)

1.7 MỘT SỐ KHẲNG ĐỊNH

Hội sơ cấp: Hội của các biến mệnh đề hoặc phủ định của chúng được gọi là Hội sơ cấp
Tuyển sơ cấp: Tuyển của các biến mẹnh đề hoặc phủ định của chúng được gọi là Tuyển sơ cấp.
Nhờ các luật của logic mệnh đề ta có thể suy ra các khẳng định sau đây.
Khẳng định 1: Một hội sơ cấp hằng sai khi và chỉ khi nó có chứa một biến mệnh đề nào đó cùng phủ định của biến mệnh đề này.
Khẳng định 2: Một tuyển sơ cấp hằng đúng khi và chỉ khi nó có chứa một biến mệnh đề nào đó cùng phủ định của biến mệnh đề này.
Giả sử  là các công thức của logic mệnh đề khi đó có các khẳng định sau:
Khẳng định 3:  khi và chỉ khi
Khẳng định 4:  khi và chỉ khi

II. Phương pháp logic mệnh đề

Phương pháp logic mệnh đề là phương pháp chuyển bài toán về dạng logic mệnh đề, rồi dùng các luật khẳng định của logic mệnh đề mà suy ra đáp án. Phương pháp này gồm 3 bước sau đây:

1) Chọn các biến mệnh đề thích hợp, tương ứng, diễn đạt các mối quan hệ, hiện trạng… được cho trong bài toán bằng các công thức của logic mệnh đề. Sau đó căn cứ vào mối quan hệ và các điều kiện đã cho trong bài toán mà đưa ra phương trình hoặc hệ phương trình logic thích hợp.

2) Giải phương trình hoặc hệ phương trình logic, để suy ra các nghiệm logic.

3) Căn cứ vào sự tương ứng khi chọn biến mệnh đề, mà diễn đạt các nghiệm logic thành đáp án của bài toán đặt ra.

Ví dụ:

Ba anh em An, Bình, Vinh ngồi làm bài xung quanh một cái bàn được trải khăn mới. Khi phát hiện có vết mực, bà các cháu hỏi thì lần lượt các em trả lời như sau:

An nói: “Em Vinh không làm đổ mực, đấy là do em Bình”.

Bình nói: “Em Vinh làm đổ mực, anh An không làm đổ mực”.

Vinh nói: “Theo cháu, Bình không làm đổ mực, còn cháu hôm nay không chuẩn bị bài”.

Biết rằng trong 3 em thì có 2 em nói cả hai ý của mỗi em nói ra đều đúng, còn 1 em nói cả 2 ý đều sai.

Hỏi ai làm đổ mực?

Giải

1. Chọn biến mệnh đề:

Mệnh đề a: “An làmđổ mực” :” An không làm đổ mực”